Enseñanza y aprendizaje de las relaciones espaciales y las formas geométricas






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Enseñanza y aprendizaje de las relaciones espaciales y las formas geométricas.

Tomado de: “La enseñanza de la matemática en el jardín de infantes. A través de secuencias didácticas”. Adriana Gonzalez y Edith Weinstein. Homo Sapiens Ediciones. Argentina. 2006

La palabra entorno aglutina realidades sustancialmente diversas: hay un entorno natural ajeno a la creatividad humana y hay un entono artificial pues el hombre ha creado con su ciencia, so tecnología, sus artes, (...)] el viejo SUC710 de la Geometría fue precisamente ser el lenguaje adecuado para describir y transformar estos entornos en sus vertientes más elementales y a la vez más profundas: las dimensiones, las formas, los movimientos, las relaciones cualitativas y cuantitativas, etc.

ALSINA CATALA, C1

Todo ser humano, desde el momento de nacer, inicia la compleja tarea de construir un sistema inteligente que le permita realizar una lectura adecuada del espacio que lo rodea. Hablamos de «construir» porque descartamos el carácter innato del mismo, ya que es necesario descubrir paso a paso las propiedades y relaciones, a partir de múltiples experiencias de aprendizaje en la vida cotidiana.

La habilidad o destreza para lo espacial es un componente esencial del funcionamiento del pensamiento matemático; este pensamiento nos permite comprender nuestro entorno, nos posibilita conocer las propiedades del espacio, ubicarnos en él, comunicar qué vemos, dónde estamos, diferenciar y reconocer las formas y sus propiedades, etcétera.

La escuela tiene función ampliar, organizar- y sistematizar los conocimientos espaciales y geométricos que el sujeto construye en contacto con el medio, con los otros y con los objetos —saberes éstos anteriores a su incorporación a la enseñanza formal—.

El espacio es contenido de enseñanza de diversas disciplinas, como Plástica, Educación Física, Expresión Corporal, Ciencias Sociales y Naturales. Cada una de ellas focaliza diferentes aspectos, y todas en su conjunto contribuyen a que el sujeto realice una construcción completa de este contenido tan complejo.

Desde la Matemática, el abordaje de los contenidos espaciales enfatiza la enseñanza de las relaciones espaciales y de las formas geométricas, con el fin de que los niños avancen en sus representaciones espaciales y construyan un sistema de referencia cada vez más complejo y completo. Esta construcción se logrará en la medida en que el docente presente al niño problemas espaciales y geométricos, lo acompañe en la reflexión y sistematización, y le posibilite plantearse otros.

Conocimientos espaciales y conocimientos geométricos

Comenzaremos nuestra reflexión tratando de dar respuesta a los siguientes interrogantes: ¿en qué se diferencian los conocimientos espaciales de los geométricos?, ¿en qué se asemejan?; ¿qué relación existe entre ellos?; ¿pueden asimilarse los conocimientos espaciales, necesarios para la resolución de los problemas cotidianos, con los que corresponden al saber matemático llamado geometría?

Una primera diferencia es la relativa a la génesis de estos conocimientos en el niño. Cada niño dispone de conocimientos espaciales antes de que se le proponga aprender conocimientos de geometría. En cambio, la geometría, como todo saber matemático, debe ser enseñada para poder ser utilizada.

Otra de las diferencias se presenta al analizar el tipo de problemas que caracterizan a uno y otro.

Los problemas espaciales se caracterizan porque:

  • Se circunscriben al espacio físico o sensible. Es decir, al espacio que “vemos”, que “tocamos”, que nos contiene y contiene a los objetos concretos. Nos apropiamos de él a través de los sentidos, de la percepción del contacto directo

  • Se refiere a la realización de:

  • Acciones; como fabricar; desplazarse, desplazar, dibujar, etc.

  • Comunicaciones, a propósito de acciones o de comprobaciones; por medio del lenguaje y/o las representaciones espaciales podemos comunicar información que sustituye a la percepción.

  • Su éxito o fracaso son determinados por el sujeto mediante la comparación entre el resultado esperado y el obtenido.

En cambio, las situaciones geométricas ponen en interacción a un sujeto «matemático» con un medio que ya no es un espacio físico y sus objetos, sino un espacio geométrico, esto es: un espacio conformado por conjuntos de puntos y sus propiedades, que nos permite comprender al espacio físico constituyéndose, en parte, como modelización de éste. Al espacio geométrico lo conocemos a través de la representación, acción que nos permite —en su ausencia— evocar un objeto. La validez no se establece empíricamente, sino que se apoya en razonamientos que obedecen a las reglas del debate matemático.

A su vez, en ambos tipos de conocimientos se utiliza un vocabulario diferente. En la vida cotidiana nadie califica de rectangular a un objeto de forma cuadrangular, pues la misma sería interpretada como un error, significaría diferencia de longitud entre los lados consecutivos. Decir “compré una fuente rectangular” implica, para el común de la gente, una representación diferente a la expresión compré una fuente cuadrada”. En cambio, dentro del vocabulario geométrico, calificar un cuadrado de rectángulo constituye una manifestación de conocimiento; apunta a reconocer que más allá de las propiedades que los diferencian comparten otras que los hacen formar parte de una misma clase. Los cuadrados son también rectángulos, porque cumplen con las propiedades de los rectángulos; pero tienen otras que los diferencian, de Ahí que se llamen cuadrados. La frase .compré una fuente rectángular» da idea, al interlocutor, de la forma de la fuente. Al decir “es rectangular” estamos apelando a un conocimiento geométrico, a las propiedades de esa forma, más allá de que las puntas de la fuente sean redondeadas y los vértices del rectángulo determinen ángulos rectos, con lo cual estamos haciendo un proceso de modelización.

Las diferencias enunciadas determinan una organización diferente de los conceptos. Los conocimientos geométricos son identificados y organizados por la disciplina matemática. En cambio los conocimientos espaciales, al referirse a problemas en el espacio físico, admiten resoluciones de carácter particular, asistemático; no tienen el mismo status dentro del currículum, dado que su incorporación es reciente.

Hemos planteado que los problemas espaciales se relacionan con la resolución de situaciones de la vida cotidiana, mientras que los problemas geométricos se refieren a un espacio representado mediante figuras-dibujos.

Por ejemplo: una persona quiere cambiar la distribución de los muebles de una habitación. Ante esta situación puede:

  • Probar diferentes formas de ubicar los muebles, hasta encontrar la que más lo satisface (resolución empírica). En este caso, se debe realizar la resolución dentro de la habitación.

  • Realizar un plano de la habitación y allí probar distintas posibilidades hasta encontrar la más conveniente (resolución geométrica). Aquí la resolución

se puede realizar fuera de la habitación.

Cuando observamos y analizamos un objeto del espacio físico desde un punto de vista geométrico, estamos haciendo uso de las propiedades geométricas, y dejando de lado otras características no geométricas de ese objeto. De ahí que, conocimientos geométricos y conocimientos espaciales, están fuertemente ligados, a pesar de sus diferencias.

Por ejemplo: Al observar un dado, desde el punto de vista geométrico lo consideramos un cubo y analizamos su forma, la cantidad y distribución de sus caras, aristas, vértices, etc., y prescindimos de su color, textura, densidad o uso social.

Ahora bien, si queremos calcular el área de una de las caras del cubo, con conocer sólo la medida de uno de sus lados podemos hallarla. El conocimiento geométrico nos informa que una de las propiedades del cuadrado es la igualdad de sus lados. Para resolver este problema realizamos una modelización de la cara del cubo, la consideramos un cuadrado.

De esta manera, para resolver un problema, podemos apoyarnos en la modelización del espacio, es decir, en la representación del espacio en cuestión teniendo en cuenta sólo los datos que permitan tratar el problema dentro del modelo geométrico, antes de volver a lo real.

Otro de los aspectos que ligan a ambos conocimientos es la posibilidad de anticipación, Por ejemplo, para ir lo más rápidamente posible de una punta a otra de la plaza (problema espacial), sabemos que conviene tomar la diagonal. Sin estar en la plaza y sin realizar mediciones, pudimos anticipar la forma de resolver el problema. El conocimiento teórico que nos permitió anticipar la solución fue de tipo geométrico, si bien, por lo general, este conocimiento es implícito —es decir, se apela a él sin tener total conciencia de ello.

El sujeto y el espacio

Las relaciones entre sujeto y espacio son complejas y a la vez necesarias; el sujeto se mueve desde pequeño en el espacio tridimensional, desplazamiento que le permitirá ir construyendo, representando y anticipando un modelo mental del espacio.

El espacio no sólo se construye a partir de la acción, sino también de la interacción con los otros, pares y adultos, y con el medio.

Liliane Lurcat (1976)2 considera que las fuentes del conocimiento espacial son dos. En primer Lugar se encuentra la que proviene del desplazamiento y la manipulación de objetos por parte del sujeto; aquí el sujeto construye a través de su propia acción. La segunda esta ligada a la transmisión por medio del lenguaje de lugares, consignas, prohibiciones. Por lo tanto, ubicarse en el espacio es ser capaz de usar vocabulario que permita comprender y transmitir información espacial.

Diversos autores han estudiado estas relaciones, focalizando diferentes aspectos. Haremos referencia a dos de ellos, cuyos aportes resultan valiosos a la hora de trabajar sistemáticamente el espacio en la sala.

Tamaños del espacio

El ser humano se desplaza constantemente en espacios de distintas dimensiones, a saber: su habitación, la casa, el barrio, el país, que le plantean diferentes tipos de problemas cuya resolución requiere de variadas estrategias.

Para el común de la gente el espacio es uno, aunque se muevan habitualmente en espacios amplios o pequeños; utilizan movimientos, puntos de referencia acordes a cada uno de ellos sin ser conscientes de sus diferencias.

Al respecto, es importante tener en cuenta los aportes de Grecia Galvez (1985)3 en relación con la variable «tamaño del espacio,).

Microespacio: Es el sector del espacio, próximo al sujeto, que contiene objetos posibles de ser manipulados. El sujeto puede mover los objetos y moverse el mismo, obteniendo amplia información del resultado de las acciones que realiza. El bajo costo de las acciones determina que las relaciones con el objeto permanezcan a un nivel pragmático.

Se constituye en un ámbito familiar para el sujeto, por lo que no requiere de muchos ensayos para resolver las situaciones; no le plantea grandes problemas y tampoco necesita realizar representaciones.

Un ejemplo de microespacio es el espacio de la mesa, en el cual el sujeto puede manipular objetos situándose desde fuera.

Mesoespacio: Es una parte del espacio que contiene tanto objetos físicos no manipulables como al sujeto. Los objetos funcionan como puntos de referencia para los desplazamientos del sujeto. Es accesible a partir de percepciones sucesivas.

Se trata, entonces, del espacio de los desplazamientos del sujeto que resultan ser más costosos que en el microespacio.

El sujeto, por estar incluido en el mesoespacio, necesita descentrarse para construir una representación del mismo. Esta representación se obtiene mediante sucesivos desplazamientos que el sujeto debe integrar y coordinar.

Por ejemplo: el sujeto se desplaza desde su habitación hasta la cocina, para lo cual utiliza los muebles, puertas y paredes como puntos de referencia fijos que le permiten realizar ese recorrido. Construye una representación mental de su casa al realizar variados desplazamientos hacia y desde las distintas dependencias.

Macroespacio: Corresponde al espacio urbano, rural y marítimo; es imposible obtener una visión global simultánea de este sector del espacio.

Al igual que en el mesoespacio, el sujeto se desplaza y reconoce objetos fijos. Pero al macroespacio, por ser un espacio de grandes dimensiones, sólo es posible construirlo a partir de la conceptualización y la abstracción.

Por ejemplo: un sujeto puede representarse la República Argentina sin necesidad de recorrerla en su totalidad.

En la tarea diaria de la sala se deben trabajar intencionalmente los diferentes tamaños del espacio mediante el planteo de situaciones problemáticas que permitan comprenderlos y diferenciarlos.

Por ejemplo, para trabajar el:

  • Microespacio

Un problema que involucra es porción del espacio es proponer a los niños hacer con cinco cajas una construcción sobre la mesa o el piso, y luego comunicar a sus compañeros lo realizado, con el fin de que ellos construyan lo mismo.

  • Mesoespacio

Proponer representar el recorrido que hacemos de la sala hasta el patio; jugar a la búsqueda del tesoro dentro del jardín; pintar en un piano los lugares por los cuales pasamos cuando nos dirigimos del jardín hasta la plaza; todos ellos implican problemas que involucran el trabajo con el mesoespacio.

  • Macroespacio

Salir de visita a una granja, o conocer un barrio alejado de la escuela, constituyen situaciones interesantes que dan cuenta del espacio rural y urbano, y acercan al niño a la comprensión del macroespacio.

La cognición ambiental

La cognición ambiental, también denominada conocimiento ambiental trata de comprender el conocimiento que el sujeto tiene sobre espacios concretos y específicos como la casa, el colegio o el barrio; es decir, estudia como el sujeto construye el conocimiento del espacio en el cual se mueve, de su entorno.

En la cognición ambiental el conocimiento del espacio se aborda desde una perspectiva ecológica, desde la interacción del individuo con su entorno específico.

El estudio del conocimiento ambiental se realiza sobre ambientes reales, en los que el observador es parte interactiva del medio y no un observador pasivo del objeto-estímulo. El medio envuelve al sujeto y puede verse desde múltiples puntos de vista a medida que se lo explora.

Dentro de este enfoque, las representaciones espaciales que el sujeto construye se denominan mapas cognitivos.

Neisser (1977)4 los define como:

“el esquema que guía nuestra conducta en el espacio y que nos permite abordar la solución de problemas espaciales”.

Los mapas cognitivos son los procesos, las representaciones internas, por medio de los cuales las personas usan la información que precede de su entorno.

Dentro de los mapas cognitivos se diferencian tres tipos de elementos, que se adquieren secuencialmente: mojones, rutas y configuraciones.

Mojones

Son los elementos básicos de los mapas cognitivos que se destacan por sus características visuales y/o funcionales.

Son objetos o elementos del entorno que llaman la atención, o que se perciben y se recuerdan fácilmente, alrededor de los que el sujeto coordina sus acciones y decisiones. Son puntos estratégicos desde los cuales y hacia los cuales se mueven las personas. Sirven como instrumento para mantener el rumbo. Son diferentes para cada persona y también varían con las edades.

Por ejemplo: el semáforo, el color de una casa, un mástil, una plaza, un puente, etcétera.

Rutas

Son las rutinas que permiten moverse de un mojón a otro. Su conocimiento es de tipo secuencial. Si la secuencia de mojones que percibimos al recorrer un itinerario no coincide con nuestras expectativas sobre ese recorrido, tenemos la sensación de estar perdidos.

Por ejemplo: todos tenemos una representación interna de la ruta de un colectivo de uso cotidiano, en ella reconocemos determinados mojones. Si el colectivo, por algún motivo, debe modificar el recorrido, nos sentimos perdidos, porque no encontramos los mojones habituales en el nuevo recorrido.

Los sujetos primero reconocen las rutas y luego las reconstruyen.

Siguiendo con nuestro ejemplo: al realizar cotidianamente el recorrido del colectivo reconocemos una ruta y algunos mojones. Esto nos permite indicar a otras personas ese recorrido, evocando la ruta y los mojones.

Configuraciones

Son representaciones que abarcan coordinada y simultáneamente gran cantidad de información espacial del entorno. Los planos de las ciudades, que se encuentran en diferentes guías de uso cotidiano, son ejemplos gráficos de configuraciones.

Un cartero que reparte correspondencia en un determinado barrio logra construir una configuración del mismo que le permite Ilegar a un mismo lugar desde distintos puntos utilizando diferentes rutas.

La representación gráfica, que los niños pueden realizar de los mapas cognitivos muestra una progresión que gradualmente comprende representaciones en las que:

  • únicamente aparecen elementos aislados (mojones),

  • aparecen conexiones entre algunos elementos (rutas);

  • todos los puntos están conectados entre sí (configuraciones).

Los mapas cognitivos de los adultos, por lo general, logran configuraciones de aquellos espacios de uso cotidiano. Sin embargo, al visitar una ciudad nueva, o al mudarse a otro barrio, el sujeto vuelve a pasa por todas las fases de las representaciones espaciales mencionadas, aun que su competencia esté en un nivel más alto. La reestructuración de estas fases evolutivas se logra muy rápidamente.

No todos podemos ubicarnos en el espacio con la misma facilidad algunos son eternamente “despistados”, mientras que otros se ubican rápidamente en cualquier lugar. Existen variables que permiten explicar estas diferencias individuales en relación con la construcción de los mapas cognitivos. Algunas de ellas son:

  • La familiaridad con el entorno.

Se relaciona no sólo con la edad cronológica del sujeto, sino con el área que recorre habitualmente y con la frecuencia con la que lo hace; con la actividad que desarrolla el sujeto en ese entorno. Niños de la misma edad que viven en el mismo barrio construyen representaciones de diferente nivel, debido a que desarrollan actividades distintas.

  • Las diferencias entre medio urbano y medio rural.

Se deben a que los niños de zonas rurales se mueven en espacios más amplios que los de zonas urbanas. Los espacios rurales son más fáciles de representar dado que, por lo general, se encuentran estructurados a partir de mojones naturales: el río la montaña, por ejemplo; en cambio, en las ciudades, es necesario recordar nombres de calles, ubicación de plazas, carteles, etcétera.

  • Sam

Las diferencias observadas se deben más a la actividad espacial que el sujeto desarrolla que a la variable “sexo” propiamente dicha. En los lugares donde las pautas educativas son distintas para niños y niñas, encontramos que las niñas se mueven en un área espacial más reducida que la de los niños. Por lo tanto, las representaciones de las niñas son menos evolucionadas.

  • La vinculación emocional.

Se han observado diferencias en las representaciones que un mismo niño realiza de sitios que le gustan, de sitios que no le gustan, de sitios que le infunden miedo.

En la sala podemos plantear a los niños realizan una representación gráfica del recorrido que realizamos habitualmente entre el aula y el salón de música. Los niños probablemente realicen representaciones en las cuales:

  • Dibujen sólo mojones tales como: el baño, el patio, la dirección, otra sala; uno a continuación del otro, en forma aislada. En algunos casos pueden incluir como primer mojón la sala y coma último el salón de música.

  • Dibujen una ruta sobre la cual marquen diferentes mojones. Esa ruta da cuenta del camino recorrido y los mojones, de lo que se ve en dicho camino. En este caso, par lo general, se determinan con claridad el punto de salida y el de llegada.

Ante propuestas de este tipo, no es habitual encontrar representaciones de configuraciones, ya que implicarían una organización jerárquica y sistematizada de información espacial a la que los niños de este nivel, por lo general, no acceden.

Por tratarse de una propuesta intencional es importante que el docente analice con el grupo las diferentes producciones, con el fin de que la mayor cantidad posible de niños accedan a representaciones en las que incluyan tanto mojones como rutas, y en las que se indiquen con claridad los puntos de salida y de llegada.
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