Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la






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Número complejo
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Número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario

Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

 \begin{array}{ll} \mathbb{c} & \mbox{complejos} \begin{cases} \mathbb{r} & \mbox{reales} \begin{cases} \mathbb{q} & \mbox{racionales} \begin{cases} \mathbb{z} & \mbox{enteros} \begin{cases} \mathbb{n} & \mbox{naturales} \\ & \mbox{cero} \\ & \mbox{enteros negativos} \end{cases}\\ & \mbox{fraccionarios} \end{cases}\\ & \mbox{irracionales} \end{cases}\\ & \mbox{imaginarios} \end{cases} \end{array}

Par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

  • Suma

(a, b) + (c, d) = (a+c) +\; (b+d)i

  • Multiplicación

(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd) +\; (ad + cb)i

  • Igualdad

(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 .

Unidad imaginaria

Tomando en cuenta que (a, 0) \cdot (0, 1) = (0, a), se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

\mathrm{i} = (0, 1) \,\!

De donde se deduce inmediatamente que,

\mathrm{i}^2 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1

Plano de los números complejos o Diagrama de Argand

El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos.

Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo.

El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áreas de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.

Valor absoluto o módulo, conjugado y distancia

  • Valor absoluto o módulo de un número complejo

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

 |z| = \sqrt{z^* z} = \sqrt{\hbox{re}^2(z) + \hbox{im}^2(z)}

Si pensamos en z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r e, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = e es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

 \left| z \right| = 0 \longleftrightarrow z = 0

 \left| z + w \right| \leq |z| + |w|

 \left| zw \right| = |z||w|

 \left| z - w \right| \ge |z| - |w|

para cualquier complejo z y w.

  • Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.

El conjugado de un complejo z (denotado como \bar{z}ó z^* \,\!) es un nuevo número complejo, definido así:

\bar{z} = a - \mathrm{i}b \longleftrightarrow z = a + \mathrm{i}b

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.

Representación trigonométrica (polar) y representación geométrica

Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b (coordenadas ortogonales) es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.

Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b), denominado vector de posición.

Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al módulo de z, expresado | z | .

Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado \phi \,.

gráfico de un complejo en el plano, con ángulo y distancia

La representación polar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo \phi \,:

z = r e^{\mathrm{i}(\phi + 2\pi{}k) \,}

donde k pertenece a \mathbb{z},

Módulo y argumento

En esta representación, \textstyle{r}es el módulo del número complejo y el ángulo \textstyle{\phi}es el argumento del número complejo.

 \textstyle{\phi} = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) = \arctan \left( \frac{\hbox{im}(z)}{\hbox{re}(z)}\right)

Formamos un triángulo rectángulo, con r como hipotenusa, y con catetos a y b. Vemos que:

 \sin \phi = \frac{b}{r}

 \cos \phi = \frac{a}{r}

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

 z = a + \mathrm{i}b ;\; z = r\cos{\phi} + \mathrm{i}r\sin{\phi}

Sacamos factor común r:

 z = r \left( \cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} \right)

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

 \ z = r \; \operatorname{cis} \; {\phi}

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Variable compleja o análisis complejo

Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro dimensiones.

Aplicaciones

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma:f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.

Representaciones alternativas de los números complejos

Otras representaciones, no tan frecuentes, de los números complejos, pueden darnos otra perspectiva de su naturaleza. La siguiente es una interpretación donde cada complejo se representa matricialmente, como una matriz de orden 2x2 con números reales como entradas que estiran y rotan los puntos del plano. Cada una de estas matrices tiene la forma

 \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix}

con números reales a y b. La suma y el producto de dos matrices queda de nuevo de esta forma. Cualquier matriz no nula de esta forma es invertible, y su inverso es de nuevo de esta forma. Por consiguiente, las matrices de esta forma son un cuerpo. En efecto, este es exactamente el cuerpo de los complejos. Cualquier matriz puede ser escrita:

 \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}

Lo cual sugiere que se puede identificar la unidad con la matriz

 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

y la unidad imaginaria

 \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}

esto es, una rotación de 90 grados. ¡Nos damos cuenta de que el cuadrado de esta matriz es ciertamente igual a -1!

El valor absoluto de un complejo expresado como una matriz es igual a la raíz cuadrada del determinante de la matriz. Si vemos la matriz como una transformación del plano, entonces la transformación rota puntos con un ángulo igual al argumento del complejo y escala multiplicando por un factor igual al valor absoluto del complejo. El complejo conjugado de z es la transformación con la misma rotación dispuesta por z pero en sentido inverso, y escala de la misma manera que z; esto puede ser descrito por la traspuesta de la matriz correspondiente a z.

Intervalo

En análisis, se denomina intervalo a la máxima división sectorial sumisa es decir a el subconjunto de la doble implicación latente en matemáticas subconjunto conexo de la recta real. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad:

si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I.






Notación

intervalo.png

Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, en el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos lo puntos intermedios. Por ejemplo: en una recta tenemos un intervalo:[-2,2]entre este espacio se encuentran los números (-2-1,0,1,2) aquí se encuentra un intervalo.....ya que el espacio abarca una serie de números consecutivos que se corresponden entre sí.


También existe una regla ERRONEA para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo que corresponda según los intervalos) cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y [1, 2) el número no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio.

Clasificación

Aquí están todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:

Notación

Intervalo

Longitud (l)

Descripción

[a, b] \,

 a \le x \le b

b-a \,

Intervalo cerrado de longitud finita.

[a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, b) \!

 a \le x < b\!

b-a \,

Intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto).

]a, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b] \!

a < x \le b

b-a \,

intervalo abierto en a, cerrado en b.

]a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b) \!

a<x<b \!

b-a \,

intervalo abierto.

]-\infty, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b) \!

 x < b \!

\infty

Intervalo (semi) abierto.

]-\infty, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b] \!

 x \le b \!

\infty

Intervalo (semi) cerrado.

[a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, \infty ) \!

 x \ge a \!

\infty

Intervalo (semi) cerrado.

]a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, \infty ) \!

 x> a \!

\infty

Intervalo (semi) abierto.

]\infty, + \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (\infty, + \infty ) \!

 x \in \mathbb{r} \!

\infty

Intervalo a la vez abierto y cerrado.

 \{ a \} \!

 x=a \!

 0 \!

intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario.

\{\} = \emptyset\!

x no existe

Sin longitud

conjunto vacío.



Intervalo abierto


Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x perteneceerre/ a < x < b}

recta

Intervalo cerrado


Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x perteneceerre/ a ≤ x ≤ b}

recta

Intervalo semiabierto por la izquierda


Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x perteneceerre/ a < x ≤ b}

rceta

Intervalo semiabierto por la derecha


Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x perteneceerre/ a ≤ x < b}

recta

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo unión(unión) entre ellos.

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