‘Cambio’ de Ian Stewart






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‘Cambio’ de Ian Stewart.


Capítulo 5 de “La Enseñanza Agradable de las Matemáticas” de L. Steen (Editor), Limusa-IPN, México, 1999.

Todo fenómeno natural, desde las vibraciones cuánticas de las partículas subatómicas hasta el propio universo, es una manifestación del cambio. Los organismos en desarrollo cambian conforme crecen. Las poblaciones de criaturas vivas, desde los virus hasta las ballenas, sufren modificaciones día con día o de un año a otro. La historia, la política, la economía y el clima están sujetos a cambios constantes y con frecuencia desconcertantes.

Algunos cambios son simples: el ciclo de las estaciones, el flujo y reflujo de las mareas. Otros parecen más complicados: las recesiones económicas, los brotes de enfermedades, las condiciones meteorológicas. Cambios de toda índole influyen en nuestras vidas.

Es de la mayor importancia la necesidad de entender y controlar el- mundo cambiante en que vivimos. Para hacer esto de manera eficaz debemos ser sensibles a los patrones de cambio, incluyendo el descubrimiento de patrones ocultos en los eventos que a primera vista parezcan no tenerlos. Para ello es necesario:

Representar los cambios en una forma comprensible,

Entender los tipos fundamentales de cambio,

Identificar tipos particulares de cambio cuando ocurran,

Aplicar estas técnicas al mundo exterior, y

Controlar un universo cambiante para nuestro mejor provecho.

El medio más eficaz para llevar a cabo estas tareas son las matemáticas. Con las matemáticas construimos universos modelo y los descomponemos para investigar la forma en que operan, resaltamos sus rasgos estructurales importantes y percibimos y desarrollamos principios generales. Las matemáticas son el summum en la “transferencia de tecnología”: los patrones percibidos en un ejemplo individual pueden aplicarse en el espectro entero de las ciencias y del mundo de los negocios.

Las Matemáticas Del Cambio


El enfoque tradicional de las matemáticas del cambio se puede resumir en un solo término: cálculo diferencial e integral. En el cálculo, el sistema cambiante se representa por una ecuación particular (técnicamente, una ecuación diferencial) que describe la relación entre las razones de cambio de las diferentes variables. Se introduce tanta maquinaria pesada (tanto teórica como numérica) como sea necesaria para intentar resolver la ecuación. Preparar a los estudiantes para el estudio del cálculo ha sido la meta central de las matemáticas escolares; plantear y resolver las ecuaciones del cálculo es el fluido vital de las matemáticas tradicionales enfocadas a la ingeniería.

El cálculo es un componente esencial de las matemáticas del cambio. Métodos más recientes, como las matemáticas discretas y la computación electrónica, antes lo fortalecen que lo sustituyen. Pero las matemáticas en sí mismas están sujetas al cambio. Nuevos problemas y nuevos descubrimientos requieren de un ámbito mucho más variado del aparato mental. Cabe mencionar dos tendencias importantes: el uso de métodos aproximados con una complejidad creciente y la explotación de la geometría y las gráficas por computadora. La primera la ha hecho posible la enorme ampliación de la capacidad de las computadoras. Debido a que la computación se basa en la manipulación digital, requiere la comprensión tanto de lo discreto como de lo continuo y, sobre todo, de la relación entre ambos ámbitos.

La segunda tendencia es un triunfo notable de la imaginación matemática: el uso de la imaginería visual para condensar una gran cantidad de información en una sola imagen comprensible. Las gráficas de computadora han llevado al descubrimiento de que muchos aspectos del cambio son manifestaciones de un número relativamente reducido de formas geométricas básicas. Los matemáticos apenas empiezan a entender estos bloques elementales del cambio y a analizar la manera en que se combinan. La metodología empleada posee un espíritu muy diferente al de la construcción tradicional de modelos por medio de ecuaciones diferenciales: se asemeja más a la química que al cálculo diferencial e integral, requiriendo un cuidadoso contrapunto entre el análisis y la síntesis.

La representación gráfica de diferentes conceptos matemáticos que surgen del estudio del cambio ha llevado al descubrimiento de diversas formas intrincadas, cada una de las cuales aparece en muchas situaciones dinámicas diferentes y es, por consiguiente, un objeto “universal” en las matemáticas del cambio. En la figura 1 se muestran varias de estas formas. Ilustran de manera adecuada las enormes diferencias entre los métodos visuales actuales y las formas estudiadas en la geometría tradicional, tales como triángulos y paralelogramos. Hoy la geometría es orgánica y visual antes que limitada y formal.



FIGURA 1. Nueva decoración en la escenografía del cambio:

(a) cascada de periodo duplicado, (b) atractor de Lorenz, (c) atractor de Ueda, (d) atractor de Rössler, (e) atractor vago de Kolmogorov, (f) conjunto de Mandelbrot.

En consecuencia, hoy en día existen muy pocas ramas de las matemáticas que no guarden alguna relación con el cambio. Esto se debe en parte a que las matemáticas son una estructura altamente integrada e interconectada. Además, el cambio es un fenómeno a tal punto complejo y variado que para abordarlo requerimos de todas las ideas que podamos reunir. Para estudiar el cambio el científico del futuro necesitará combinar, en una sola visión integrada del mundo, aspectos de las matemáticas tradicionales, de las matemáticas modernas, de la experimentación y de la computación. Necesitaremos científicos que igual tomen un lápiz que una terminal de computadora, que igual puedan hacer bosquejos toscos pero informativos que gráficas de computadora, que igual piensen en términos de imágenes que en función de números o fórmulas. El punto de vista, el aparato de las herramientas mentales, en su conjunto del científico activo será muy diferente de lo que fue incluso hace una década.

Los patrones del cambio en la naturaleza y en las matemáticas no se constriñen a las categorías ordinarias del pensamiento. Para hacer progresos debemos responder con imaginación y sensibilidad a los nuevos tipos de patrones. Nuestros propios patrones de pensamiento deben cambiar.

Variedad de estilos


Conforme el siglo XX llega a su fin, emerge un nuevo estilo de matemáticas, un estilo cuyo rasgo distintivo es la variedad. Las matemáticas se desarrollan de nueva cuenta en estrecha conjunción con sus aplicaciones en las ciencias físicas, biológicas, conductuales y sociales. Gran parte de las matemáticas son inspiradas por experimentos de computadora y de laboratorio o por las formas de los fenómenos naturales. Recíprocamente, las ideas matemáticas desarrolladas per se, o en un área de aplicación diferente, se están transfiriendo a otras tareas donde encuentran aplicaciones prácticas. Esta variedad constituye la fortaleza del nuevo estilo de las matemáticas, y deberá estimularse en todos los niveles. Además, las computadoras (en particular las gráficas de computadora) permiten que personas no especializadas, desde niños de escuela hasta gerentes, desde profesores de la escuela elemental hasta científicos, sean testigos de la belleza y la complejidad de las matemáticas y las apliquen en la práctica.

El surgimiento de este nuevo estilo de las matemáticas no significa que sea posible abandonar el énfasis tradicional en la formulación precisa de los conceptos y la demostración lógica rigurosa. Por el contrario, siguen siendo un componente esencial del quehacer matemático. El rigor y la precisión son tan esenciales a las matemáticas como la experimentación lo es para el resto de las ciencias, y en gran medida por la misma razón: proporcionan razones firmes para creer en la solidez de las ideas y los métodos. Forman parte de los mecanismos internos de verificación y rectificación del tema, una salvaguarda constante en contra del error. En la formación de matemáticos profesionales continuará requiriéndose necesariamente el pensamiento lógico preciso y la comprensión precisa del significado de “demostración”. El uso de computadoras como “herramientas experimentales” en estos experimentos por sí solo no puede llevar a la comprensión de por qué ocurren los fenómenos observados. Su papel es ofrecer un grado de confianza de que ciertos fenómenos en realidad ocurren.

De hecho, una tendencia importante se ha vuelto bastante notable a medida que se ha adquirido la experiencia en el uso de las computadoras. Se trata de la desaparición de la actitud fácil: “Mételo en la computadora y ella te responderá todas tus preguntas.” Cuando la respuesta de un problema es, digamos, un solo número, tal como la carga máxima de una estructura de ingeniería, todos los problemas desaparecen en realidad una vez que se conoce dicho número. Pero en la actualidad una investigación típica basada en computadora puede producir varios cientos de diagramas que representan el comportamiento del sistema bajo diferentes condiciones. Por ejemplo, piénsese en el flujo del aire que incide en un transbordador espacial para diferentes velocidades, ángulos de ataque y densidades atmosféricas. Esta lista, a pesar de su tamaño aparentemente grande, probablemente resultará inadecuada para determinar el comportamiento bajo todas las condiciones posibles. Si el sistema incluye tres parámetros regulables, como el que acaba de mencionarse, y cada uno puede asumir diez valores, entonces son posibles un total de mil combinaciones. Con cuatro variables como éstas hay diez mil, con seis hay un millón.

En la práctica, seis es un número reducido de parámetros: en los problemas más sencillos de la ingeniería química por lo general se manejan varias docenas de parámetros pero pueden incluir cientos. No tiene sentido producir un catálogo computarizado de un millón de diagramas, por no mencionar listas del orden de los miles de millones o los billones. La cuestión fundamental, “¿Qué está pasando realmente aquí?”, vuelve de la ciencia de las computadoras al reino de las matemáticas. Tales cuestiones requieren una participación sensiblemente mayor del cerebro humano que de las computadoras.

Sin embargo, no debe subestimarse el papel de la computadora. Se está convirtiendo en un auxiliar del pensamiento con una presencia cada vez más generalizada. Las computadoras no sólo pueden generar “resultados”, sino que también pueden usarse para experimentar en etapas intermedias de la comprensión, para poner a prueba hipótesis y mecanismos posibles. Tomando las precauciones necesarias, los cálculos por computadora en realidad pueden producir demostraciones rigurosas de resultados matemáticos. El establecimiento de tales demostraciones auxiliadas por computadora requiere una construcción muy cuidadosa y una participación humana considerable: se encuentran lejos de ser rutinarias y, por lo general, requieren software construido especialmente y un prolongado tiempo de la máquina. Ante todo, constituyen una difícil área de especialización de las matemáticas. El “mételo a la computadora” no es ninguna panacea.

Enfoques de la enseñanza


Es sólo por razones de exposición que la demostración rigurosa no figura en primer plano dentro de este ensayo. Forma parte de la técnica básica del matemático y conserva la importancia que siempre ha tenido, pero posee un interés sensiblemente menor para las personas no especializadas. En consecuencia, su papel no se ha hecho explícito, aun cuando constituye el puntal de todo lo que se discute.

Sin embargo, el hecho de que la demostración sea importante para el matemático profesional no implica que la enseñanza de las matemáticas a un auditorio dado deba limitarse a las ideas cuyas demostraciones sean accesibles para el mismo. Es probable que tal restricción haga de las matemáticas un tema aburrido, insulso y farragoso, pues muchas de las ideas más estimulantes y llamativas dependen de teorías cuyas demostraciones presentan un alto grado de complejidad. Muchos conceptos matemáticos pueden entenderse sin necesidad de tratar sus demostraciones formales. El uso de una idea es muy diferente a su desarrollo. Es posible “explicar” conceptos bastante avanzados a niños por medio de ejemplos y experimentos, aun cuando una demostración formal sea demasiado difícil.

Por ejemplo, un concepto importante en la teoría del caos es el de la “sensibilidad a las condiciones iniciales”. Si un sistema evoluciona a partir de dos estados iniciales muy semejantes, los movimientos resultantes con facilidad se pueden volver muy diferentes. Con el acceso al software adecuado, virtualmente cualquier persona puede apreciar este comportamiento sensible y paradójico en, digamos, el atractor de Lorenz (figura 1b) al observar simplemente cómo dos valores iniciales casi iguales se apartan y se vuelven independientes. Sin embargo, la demostración rigurosa de que el sistema de Lorenz se comporta en realidad como lo sugieren los experimentos de computadora no sólo rebasa las capacidades del individuo promedio, sino que los matemáticos profesionales aún no han llegado a ella y aún es un problema abierto para la investigación futura.

La amplitud de los puntos de vista y el ámbito de las habilidades requeridas por las matemáticas actuales serán importantes no sólo para matemáticos y científicos sino para las personas en todos los ámbitos de la vida. El cambio nos afecta a todos. Administradores, políticos, líderes empresariales y otras personas que toman decisiones deben enfrentar un mundo cambiante. Deben apreciar cómo son los cambios sutiles; deben desaprender supuestos obsoletos.

Concebir métodos para educar a una generación de personas a tal punto versátiles constituye un enorme reto. Uno de los objetivos de este ensayo es sugerir formas para desarrollar en los niños parte de las ideas subyacentes y estimular un nuevo punto de vista. Debe avanzarse rebasando el enfoque tradicional de la aritmética que lleva al álgebra y de aquí al cálculo diferencial e integral.

Un componente importante en el diseño de un nuevo plan de estudios eficaz es la comprensión de los nuevos puntos de vista que se están desarrollando en las fronteras de la investigación. No obstante, el plan de estudios debe ser adecuado para todos los niños, no sólo para quienes llegarán a ser investigadores científicos. Sin embargo, las nuevas matemáticas que están evolucionando a nivel de la investigación establecen el estilo para las aplicaciones y la educación en el futuro. Por tanto, es importante que profesores y educadores de todos los niveles comprendan la naturaleza general de estos nuevos métodos y el tipo de cuestiones de que se ocupan.

Niveles de descripción


Las matemáticas del cambio pueden considerarse en muchos niveles:

El cuadro general: ¿Cuáles son los tipos de cambio posibles?

Áreas específicas de la técnica matemática: ¿Cómo se resuelven las ecuaciones?

Áreas generales de aplicación: ¿Cómo varía el tamaño de una población de organismos vivos con el tiempo?

Aplicaciones individuales: Diseñar un reactor químico para producir margarina.

Ejemplos teóricos simples: ¿Cómo oscila un péndulo?

Los matemáticos operan en todos estos niveles porque los conocimientos obtenidos en un nivel con frecuencia se transfieren a los demás. En la transferencia de la tecnología matemática los patrones no están atados a ninguna área de aplicación particular.

Ejemplos teóricos simples rara vez son de relevancia directa para las aplicaciones industriales. Por ejemplo, el análisis de la dinámica del péndulo no tiene una aplicación directa en el estudio de la vibración en las alas de un aeroplano supersónico. En términos prácticos, el péndulo se extinguió con el reloj del abuelo. Pero ejemplos simples tienen sus aplicaciones: nos preparan para las complejidades de la vida real. Un péndulo hace más accesibles varias características importantes de la oscilación que un modelo realista del ala que vibra en un aeroplano.

Para ilustrar estos temas se plantearán algunas preguntas específicas que ejemplifiquen el nuevo estilo de las matemáticas. Estas preguntas se han elegido no como metas específicas en sí mismas, sino porque motivan ideas matemáticas importantes:

¿Cómo cambian las poblaciones vivas?

¿De dónde vienen los meteoritos?

¿Por qué tienen rayas los tigres?

Sólo en la primera de estas preguntas parece estar presente el cambio. Las otras parecen referirse a fenómenos estáticos. Los meteoritos simplemente están ahí, o no, al azar. Un tigre tiene rayas, un leopardo no y un par de ellas jamás se cortarán. De hecho todas las preguntas se refieren a cierto tipo de cambio. ¿Los meteoritos en realidad penetran “al azar” en la atmósfera terrestre o hay algo más estructurado detrás de su aparición en el cielo nocturno? Un tigre rayado maduro no existe tan sólo como un objeto estático: se desarrolla a partir de una sola célula (sin rayas). En algún momento en el curso de su desarrollo las rayas hacen su primera aparición. El cambio es el tema común detrás de cada una de estas variadas preguntas.

Dinámica Poblacional


Si se dejan unos cuantos conejos en una isla deshabitado, muy pronto habrá un gran número de ellos. Por otra parte, el crecimiento no puede continuar indefinidamente, o pronto habría más conejos que isla. Se infiere que el cambio en una población es afectado por factores tanto internos como externos. La manera en que éstos se combinan para influir en los cambios en la población es un buen ejemplo de construcción de modelos matemáticos que puede estudiarse en varios niveles diferentes.

Meteoritos


El comportamiento de los meteoritos es una reducida parte del problema general de la dinámica de los cuerpos celestes, de lunas, planetas, estrellas, galaxias. La regularidad, o casi regularidad, de los movimientos de los planetas ha sido a lo largo de la historia una motivación importante para el estudio del cambio. No es sólo una cuestión de fascinación por el firmamento nocturno: importantes problemas de carácter tan práctico como la agricultura y la navegación han dependido en varias épocas del conocimiento de los movimientos de las estrellas y los planetas.

La astronomía es un área rica para descubrir buenas actividades en el salón de clases acerca del cambio: las fases de la Luna, las mareas, el movimiento aparente de las estrellas, las estaciones cambiantes, los satélites terrestres. Otra posibilidad es reconstruir los experimentos de Galileo usando esferas en planos inclinados y deducir la ley del movimiento en un campo gravitacional uniforme. Los datos reunidos en tales actividades pueden motivar muchas exploraciones matemáticas interesantes.

Históricamente, nuestra comprensión de estas cuestiones pasó por varias etapas, la descripción informal, los modelos empíricos, los modelos geométricos, los modelos dinámicos, antes de culminar en las leyes del movimiento descubiertas por Isaac Newton. Pero estas leyes a menudo conducen a ecuaciones cuya solución es muy complicada. Pueden resolverse exactamente para un sistema de dos cuerpos, donde predicen las órbitas elípticas. El problema del movimiento celeste para un sistema de tres cuerpos ha sido un tema conspicuo durante más de dos siglos debido a su naturaleza aparentemente intratable. Con las computadoras modernas podemos ver por qué: incluso las versiones simplificadas, por ejemplo, donde uno de los cuerpos tiene una masa insignificante, lleva a un comportamiento complejo y en alto grado irregular.

Los paquetes de computadora simulan ahora el movimiento planetario para sistemas de dos, tres o más cuerpos. Los niños de tan corta edad como 11 ó 12 años pueden usar estos paquetes para experimentar con el comportamiento de las órbitas elípticas regulares de sistemas de dos cuerpos y con el comportamiento complicado de tres cuerpos o más. Al usar estos paquetes pueden lograr una comprensión más profunda de la geometría del movimiento planetario que la obtenida por Isaac Newton en una vida de estudio.

Las Rayas Del Tigre


“¿Qué mano u ojo inmortal osó formar tu temible simetría?”, dijo William Blake, refiriéndose al tigre. Aun cuando Blake no empleó la palabra “simetría” en un sentido técnico, el caso es que el comportamiento de los sistemas simétricos posee una relación definida en la naturaleza rayada del tigre.

La simetría es fundamental para la comprensión científica del universo. Las simetrías de los cristales no sólo clasifican sus formas sino que también determinan muchas de sus propiedades. Diversas formas naturales, desde la estrella de mar hasta las gotas de lluvia, desde los virus hasta las galaxias, presentan notables simetrías. Objetos de manufactura humana también tienden a ser simétricos: tubos cilíndricos, placas circulares, cajas cuadradas, recipientes esféricos, barras de acero hexagonales.

El hecho de que causas simétricas tengan efectos simétricos es un principio muy antiguo en el folklore de la física matemática. Pierre Curie estableció el punto de manera sucinta: “Si ciertas causas producen ciertos efectos, entonces las simetrías de las causas reaparecen en los efectos producidos.” El principio parece bastante natural, pero, ¿es verdadero? La cuestión es de carácter sutil e incluye no sólo el significado de “simetría” sino también el de “causa” y “efecto”.

Recientemente científicos y matemáticos se han hecho conscientes de que, en un sentido importante, la afirmación de Curie es falsa. Existe la posibilidad de que un sistema simétrico se comporte de una manera asimétrica. Este fenómeno, conocido como ruptura de la simetría, es un mecanismo importante que se encuentra detrás de la formación de patrones en muchos sistemas físicos desde la astronomía hasta la zoología. La teoría matemática de la ruptura de la simetría proporciona un poderoso método para analizar cómo se comportan los sistemas asimétricos y se aplica a todas las disciplinas científicas.

Implicaciones


El cambio es un fenómeno que tiene un impacto directo sobre todos los seres humanos. Afecta las vidas individuales, las economías nacionales y el futuro del planeta entero. Hasta hace poco nuestra comprensión del cambio provenía de las herramientas tradicionales del cálculo diferencial e integral y sus parientes más avanzados y estaba confinada a las ciencias físicas, donde es posible llevar a cabo mediciones numéricas precisas.

Inicialmente, las computadoras servían para ampliar las técnicas del cálculo diferencial e integral, al hacer posible la solución de ecuaciones con un mayor grado de dificultad. La expresión “trituración de números” capta el estilo. Pero las computadoras actuales hacen más que la simple trituración de números. En particular, pueden representar y manipular datos gráficamente. Como un desarrollo complementario, las matemáticas de hoy también son mucho más que meros números. Tratan características estructurales, espacios multidimensionales, transformaciones, formas, figuras, en resumen, patrones.

Cuando se inventó el cálculo diferencial e integral, evolucionó a la par de la geometría. A través de los siglos, el razonamiento geométrico fue reemplazado por técnicas analíticas más poderosas, pero menos informativas. El énfasis cambió a las fórmulas. Ahora, cuando penetramos en áreas donde las fórmulas por sí solas resultan insuficientes, el énfasis está cambiando de nuevo a la geometría, no al pomposo razonamiento formal asociado con frecuencia con el tratamiento escolar de la geometría, sino a la geometría del espacio y la forma, a las matemáticas de lo visual.

Están presentes muchas habilidades básicas, a menudo como pares complementarios, para proporcionar dos maneras diferentes de abordar los mismos problemas:

  • numéricas y visuales,

  • algebraicas y geométricas,

  • formales y experimentales,

  • abstractas y concretas,

  • analíticas y sintéticas,

  • algorítmicas y existenciales,

  • conceptuales y computacionales.

Las matemáticas, la ciencia de los patrones, está cambiando en sí misma. En aras de nuestro futuro, debemos dirigir las matemáticas a los patrones de cambio. Y para ello debemos cambiar la manera en que se enseñan las matemáticas, a fin de crear una nueva generación capaz de percibir y manipular nuevos patrones.

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